On Leibniz’ Characteristic Numbers

In 1679, Leibniz wrote nine manuscripts on three different arithmetical models of Aristotelian logic. This was a part of his project of a “calculus universalis”. First we show the precise relations of these three models to each other by presenting three criteria which serve the purpose of classifying models of Aristotelian logic. This facilitates the understanding of Leibniz’ constructions. Our method is of special value for the sophisticated third model, the domain of which consists of pairs of natural numbers. We present a simple approach to Leibniz’ definitions which on first sight appear complicated. We show that it is possible to deduce, from the “universal positive” relation a ( = “All ...”), the other three “Aristotelian relations” i, o, and e. – It has always been difficult to understand the exact nature of Leibniz’ characteristic numbers because of his misleading nomenclature, since he utilized the signs + and – in order to designate the “positive” and “negative” part of a characteristic number pair. We present a new interpretation of Leibniz’ symbolism, showing that the number pairs should be interpreted as numerator and denominator of a rational number. Thus we can identify the last model as the natural extension of the first and second one, showing the continuity in Leibniz’ different attempts towards an arithmetization of logic. – We close our paper by discussing two well known problematic aspects of Leibniz’ characteristic numbers, formulating two open questions concerning the formal structure of the system. ZUSAMMENFASSUNG: Im Rahmen seines Projektes eines „calculus universalis“ entwarf Leibniz Anfang 1679 in neun Texten drei unterschiedliche Modelle der aristotelischen Logik mit Hilfe von Zahlen. Durch diese von ihm erfundenen „charakteristischen Zahlen“ wollte Leibniz die Schlussweisen der aristotelischen Logik auf rein arithmetische Rechnungen reduzieren. In der vorliegenden Arbeit zeigen wir genau, wie die drei Modelle untereinander zusammenhängen bzw. aufeinander aufbauen. Zu diesem Zweck geben wir drei Kriterien an, mit Hilfe derer sich Modelle der aristotelischen Logik klassifizieren lassen. Zum einen können wir dadurch die Leibnizschen Definitionen leicht nachvollziehen sowie auch die Stärken und Schwächen der einzelnen Modelle präzise beschreiben. Besonders für das ausgefeilte letzte Modell, dessen Grundbereich aus Paaren natürlicher Zahlen besteht, liefert unsere Methode einen ganz natürlichen Zugang zu den Leibnizschen Definitionen, die im Original recht sperrig wirken. Wir zeigen insbesondere – was Leibniz nicht herausgestellt hat -, dass allein aus der universell-positiven alle anderen drei „aristotelischen Relationen“ herleitbar sind. Ein Grund für manche Schwierigkeiten mit dem Verständnis der Leibnizschen charakteristischen Zahlen ist die von ihm verwendete Nomenklatur. Der problematischen Schreibweise mit Vorzeichen + und -, die in der Vergangenheit manchen Kommentator auf die falsche Fährte gelockt hat, geben wir eine neue Deutung: Dadurch entpuppt sich das letzte Modell als ganz natürliche Erweiterung des vorangehenden vom Grundbereich der natürlichen in den Bereich der positiven rationalen Zahlen. – Mit der vorliegenden Arbeit hoffen wir, der Verwendung charakteristischer Zahlen als theoretisches Instrument für die Untersuchung der aristotelischen Logik einen neuen Impuls geben zu können. Deshalb diskutieren wir am Schluss der Arbeit noch die aus der Literatur bekannten Stärken und Schwächen des Leibnizschen Modells und formulieren zwei offene Fragen zu diesem Komplex.